Lösung: Ratentilgung / Annuitätenilgung

a) Man erhält den Kapitalwert folgendermaßen:

C₀ = -80.000 + 20.000/1,1 + … + 20.000/1,1⁵ + 0/1,1⁶ + 20.000/1,1⁷ + … + 20.000/1,1¹¹ + 25.000/1,1¹²

= 46.577,51 €.

b) Es werden Ausgabenannuitäten ausgerechnet, um die Investitionen vergleichbar machen zu können. Die 25.000 € der nullten Periode werden über den Kapitalwiedergewinnungsfaktor auf die folgenden Perioden verteilt, die 2.000 € der letzten Periode werden über den Rückwärtsverteilungsfaktor nach hinten verrechnet. Die 25.000 € der nullten Periode sind eine Opportunität, denn man verzichtet auf dieses Geld, wenn man A durchführt.

25.000·KWF(4; 10%)+ 40.000 + 2.000·RWVF(4; 10%)

= 25.000·(0,1·1,1⁴)/(1,1⁴ - 1) = 48.317,69 €.

Für die Investition B gilt

80.000·KWF(12; 10%) + 30.000 + 20.000/1,1⁶·(0,1·1,1¹²)/(1,1¹² - 1) – 5.000·0,1/(1,1¹² – 1) = 43.164,13 €.

Zum vorletzten Term ist zu sagen, dass die 20.000 € Ausgabe der sechsten Periode zunächst auf die nullte Periode zurückzurechnen ist und dann dieser Barwert mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor auf die folgenden zwölf Perioden verteilt werden muss.

c) Folgende Formel gibt näherungsweise Aufschluss über die Effektivverzinsung:

i_eff = [(i_nom. + Disagio/mittlere Laufzeit)]/[1 – Disagio]·100

Die mittlere Laufzeit wiederum erhält man durch durch

mittl. Laufzeit = (erstes Tilgungsjahr + letztes Tilgungsjahr)/2

= (3 + 5)/2

= 4

oder einfacher durch

mittl. Laufzeit = arithmetisches Mittel der Tilgungsjahre

= (3 + 4 + 5)/3

= 4.

Für den Effektivzins errechnet man damit

i_eff = [(i_nom. + Disagio/mittlere Laufzeit)]/[1 – Disagio]·100

= [(0,09 + 0,0698)/4]/[1 – 0,0698]·100

= [(0,09 + 0,01745)/0,9302]·100

= 11,55 %.

Hier gibt die Gesamtlaufzeit, also die Anzahl der Freijahre zuzüglich der Tilgungsjahre, an, die kürzeste Laufzeit, also Freijahre + erstes Tilgungsjahr. T = 4 heisst, dass das Disagio auf vier Jahre verteilt werden muss.

d) Eine annuitätische Tilgung wäre der beschriebenen Ratentilgung vorzuziehen, weil die Effektivverzinsung des Darlehens oberhalb von 10 % liegt. In diesem Fall ist es günstig, so schnell wie möglich zu tilgen, und bei der Annuitätentilgung wird schneller getilgt als bei der Ratentilgung!

Allgemein gilt: wenn der Effektivzins oberhalb des Kalkulationszinses liegt, ist es sinnvoll, sehr früh sehr viel zu tilgen, um möglichst schnell die Schulden loszuwerden. Eine Kontokorrenttilgung wäre deshalb am besten. Die Annuitätentilgung ist aber der Ratentilgung immer noch überlegen, weil hier zunächst mehr getilgt wird.

Wenn der Kalkulationszins oberhalb des Effektivzinses liegt, ist natürlich eine späte Tilgung sinnvoller!