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Statt Einzahlungsüberschüsse auf das Ende der Laufzeit aufzuzinsen, lassen sich diese auch auf den Beginn der Laufzeit herunterrechnen, d.h. abzinsen.
Merke
Mit anderen Worten: wie viel sind die Gewinne aus der Investition am Anfang der Laufzeit wert?
Dies führt im vollkommenen Kapitalmarkt auf den sog. Kapitalwert
C0=Σ($\ E_t$– $\ A_t$)·$\ {(1+i)}^{-t}$ Kapitalwert.
Video: Kapitalwertmethode
Beispiel
Berechne den Kapitalwert.
Man rechnet also
$\ C_0$= -800 + 1.840· $\ {1,05}^{-1}$– 1.056· $\ {1,05}^{-2}$= -5,44.
Man unterscheidet nun
Einzelentscheidungen und
Auswahlentscheidungen.
Als Einzelentscheidung führt man eine Investition genau dann durch, wenn ihr Kapitalwert echt größer als null ist:
$\ C_0$> 0 ... Investition vorteilhaft
$\ C_0$< 0 ... Investition unvorteilhaft.
Für die Auswahlentscheidung bei mehreren Alternativen gilt:
$\ C^A_0$> $\ C^B_0$… A ist besser als B
$\ C^A_0$< $\ C^B_0$… A ist schlechter als B
Beispiel
Vergleiche die Investitionen, berechne insbes. auch die jeweiligen Endwerte. Wie lautet der Zusammenhang zwischen Kapitalwert und Endwert?
Die folgende Tabelle enthält die jeweiligen Kapitalwerte und die zugehörigen Endwerte.
Wir sehen hier die Äquivalenz vom Kapitalwert und Endwert, denn beide haben klarerweise dasselbe Vorzeichen:
Investition | Kapitalwert $\ C_0$ | Endwert $\ C_n$ |
$\ I_1$ | -747,59 | -921,10 |
$\ I_2$ | 233,11 | 318,81 |
$\ I_3$ | -4,5 | -5 |
Tab. 8: Vergleich von Endwert und Kapitalwert
Dies liegt an der Zinseszinsformel:
$\ C_n$= $\ C_0$·$\ {(1 + i)}^n$ Zusammenhang Endwert und Kapitalwert
Der Endwert $\ C_n$ ist damit nichts anderes als der aufgezinste Kapitalwert $\ C_0$. Wir rechnen die Zinseszinsformel am Beispiel 15 nach:
Investition 1: -747,59·$\ {1,11}^2$= -921,10,
Investition 2: 233,11·$\ {1,11}^3$= 318,81 und
Investition 3: -4,5·$\ {1,11}^1$= -5.
Man kann damit die Endwerte aus den Kapitalwerten berechnen und die Kapitalwerte aus den Endwerten. Damit gilt die folgende Regel.
Merke
- Die Vorteilhaftigkeitsaussagen des Kapitalwerts und des Endwerts ein- und derselben Investition sind vollkommen gleich Cn≥ 0C0≥ 0.
- Wenn der eine Wert größer oder gleich Null ist, dann ist es der andere auch – und umgekehrt. Die Vorteilhaftigkeitsaussagen sind also vollkommen identisch. Es ist vollkommen identisch, ob zwei Investitionen dadurch verglichen werden, dass sie
- auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinst werden,
- oder dadurch, dass sie auf den Zeitpunkt t = n aufgezinst werden.
- Mit dem Kapitalwert lassen sich auch Auswahlentscheidungen treffen, d.h. man kann mehrere Investitionen miteinander vergleichen.
Beispiel
Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zahlungsreihe A | -1.000 | 800 | 300 | 400 |
Zahlungsreihe B | -1.000 | 300 | 800 | 200 |
Vergleiche die beiden Investitionen anhand ihrer Kapitalwerte.
Es ist
$\ C^A_0$= -1.000 + 800/1,09 + 300/$\ {1,09}^2$+ 400/$\ {1,09}^3$
= 295,32 €, ebenso
$\ C^B_0$= -1.000 + 300/1,09 + 800/$\ {1,09}^2$+ 200/$\ {1,09}^3$
= 103,01 €.
Offensichtlich erwirtschaftet die erste Investition den höheren Kapitalwert. Dies liegt daran, dass die Zahlungen früher reinfließen (die 800 € erscheinen bei A schon in t = 1 statt erst in t = 2 wie bei Investition B) und außerdem in t = 3 der Rückfluss höher ist.
Man kann sich die Frage nach den Unterschieden in den beiden Zahlungsreihen stellen, wir reden über die so genannte Differenzinvestition A - B. Hierbei ist die Investition B die so genannte Basisinvestition (bei der Differenzinvestition B - A wäre A die Basisinvestition).
Die Zahlungsreihe von A - B ist
Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B | 0 | 500 | -500 | 200 |
Tab. 9: Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B
Der Kapitalwert dieser Zahlungsreihe liegt bei $\ C_0^{A - B}$= 500/1,09 – 500/1,09² + 200/1,09³ = 192,31 €. Er entspricht damit der Differenz der Kapitalwerte der einzelnen Investitionen, d.h. $\ C^A_0$- $\ C^B_0$= 295,32 - 103,01 = 192,31 €.
Merke
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