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Jahresabschlüsse aufbereiten und auswerten - Linear - limitationale Produktionsfunktionen

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Jahresabschlüsse aufbereiten und auswerten

Linear - limitationale Produktionsfunktionen

Bei linear-limitationalen Produktionsfunktionen gibt es einen Inputfaktor, der die Produktion limitiert, also beschränkt. Außerdem ist das Inputverhältnis konstant.

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenES werden Fahrräder produziert, hierfür werden Reifen und Sattel benötigt. Welcher funktionale Zusammenhang liegt der Fahrradproduktion zugrunde?

Die Tatsache, dass ein Fahrrad aus mehr als nur Satteln und Reifen besteht, ist logisch. Es sei v1 die Anzahl der Sattel, der eingesetzt wird, v2 die Anzahl an Reifen und x die Anzahl der hiermit produzierten Fahrräder, also der Output.

Methode

Hier klicken zum AusklappenAusnahmsweise schreiben wir nun etwas falsches hin. Viele Lernende meinen, der funktionale Zusammenhang in der vorliegen Aufgabe sei durch „x = v1 + 2 · v2“ gegeben. Dass dies ist jedoch falsch, das zeigt die einfache Überlegung, dass man z.B. v1 = 1 Sattel und v2 = 2 Reifen einsetzt. Der Output müsste genau x = 1 Fahrrad sein. Allerdings liefert die (falsche) Formel x = 1 + 2 x 2 =5. Also funktioniert die obige Formel offensichtlich nicht.

Richtig wird es, wenn v1 = 1 und v2 = 2 beträgt, damit x = 1 resultiert, denn es sind ein Sattel und zwei Reifen für ein Fahrrad nötig. Die Produktionsfunktion lautet deswegen also

 x = min{1 · v1; 0,5 · v2}.

Rechnen wir nach. Für die Produktion von x = 2 Fahrrädern werden benötigt v1 = 2 Sattel und v2 = 4 Reifen. Die Produktionsfunktion zeigt dasselbe, denn

x           = min{1·v1; 0,5·v2}

             = min{1·2; 0,5·4}

             = min{2; 2}

             = 2.

Die Bedeutung des kleinen Zusatzes „min“ in einer linear-limitationalen Produktionsfunktion wird klar, wenn ineffizient produziert wird. Angenommen es liegen drei Sattel und acht Reifen vor. Mit den vorliegenden Reifen könnte er vier Fahrräder produzieren, mit den Satteln allerdings nur drei. Dies genau zeigt das „min“:

x           = min{1·v1; 0,5·v2}

             = min{1·3; 0,5·8}

             = min{3; 4}

             = 3.

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenDer Zusatz des „min“, also des Wortes „Minimum“, ist nötig, um zu zeigen, dass einer der beiden Faktoren die Produktion limitiert. Die Sattel beschränken die Produktion. Wären vier Sattel vorhanden, so könnten theoretisch vier Fahrräder produziert werden, wenn dies auch mit den Reifen möglich wäre. Da aber nur drei Sattel vorliegent, können nur drei Fahrräder hergestellt werden. Der Name der limitationalen Produktionsfunktion gründet sich also genau aus dieser Tatsache, dass ein Inputfaktor die Produktion limitiert.

Die Produktionsfunktion lautet:

 x = min{a1·v1; a2·v2}                             Typ Leontieff (= linear-limitational).

Es gilt hierbei:

Merke

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Bestimmte Erträge lassen sich mit ihr nur mit einer einzigen, technisch bestimmten Kombination von Inputfaktoren erzielen.

Die Ertragsisoquante (= geometrischer Ort aller Inputkombinationen, die ein- und denselben Output liefern) ist insofern ein einziger Punkt, nicht eine gesamte Kurve.

Linear-limitationale Produktionsfunktion
Linear-limitationale Produktionsfunktion

So lassen sich in der Abbildung z.B. x0 = 2 Fahrräder mit v10 = 2 Satteln und v20 = 4 Reifen herstellen. Möglich ist natürlich auch, denselben Output mit anderen Kombinationen herzustellen, wie oben angesprochen. Dies ist dann allerdings nicht effizient, es würden Faktoren verschwendet. Der Output von x = 2 wird also nur mit einer einzigen Faktorkombination effizient erreicht. Einen anderen Output, z.B. x = 4, wird ebenfalls nur mit einer einzigen – anderen - Inputkombination effizient erreicht und zwar mit v1 = 4 Satteln und v2 = 8 Reifen. Werden alle Möglichkeiten verbunden, den jeweiligen Output effizient zu produzieren, so ergibt sich der sog. Prozessstrahl.

Merke

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Dieser Prozessstrahl ist bei Leontieff-Produktionsfunktionen immer eine Gerade.

Prozessstrahl bei linear-limitationaler Produktionsfunktion
Prozessstrahl bei linear-limitationaler Produktionsfunktion