Bei total substitutionalen Produktionsfunktionen lässt sich auf einen Inputfaktor verzichten und es folgt dennoch ein positiver Output.
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Die Produktionsfunktion laute x = v1 + 4·v2.
Zeigen Sie, dass diese
a) substitutional ist, und dass sie
b) sogar total substitutional ist
c) Zeichnen Sie einzelne Ertragsisoquanten.
a) Ein Output von x = 2 lässt sich unterschiedlich herstellen. So ist es möglich, v1 = 2 und v2 = 0 einzusetzen und diesen Output zu erhalten:
x = v1 + 4 · v2 = 2 + 4·0 = 2, aber auch durch v1 = 0 und v2 = 0,5 ist derselbe Output möglich:
x = v1 + 4·v2 = 0 + 4·0,5 = 2.
Insgesamt ist die Funktion substitutional, denn unterschiedliche Inputkombinationen ergeben denselben Output.
b) Sie ist total substitutional, denn wenn man den zweiten Input gleich null setzt, also v2 = 0 schreibt, so ist es trotzdem möglich, einen positiven Output zu generieren. Wenn nämlich v1 = 2, so ist
x = 2 + 4·0 = 2 > 0.
c) Schauen wir uns dies in der graphischen Darstellung der Ertragsisoquanten an. Wir rechnen z.B. die Ertragsisoquante für einen konstanten Output x0 aus, indem wir x0 statt x schreiben und nach v2 auflösen:
x0 = v1 + 4 · v2, also x0 – v1 = 4 · v2 und also
v2 = 0,25 · x0 - 0,25 · v1.
So lautet die Ertragsisoquante für einen Output von x0 = 2 dann
v2 = 0,5 -0,25 · v1 = 0,25 – 0,25 · v1
und für einen Output von x0 = 4 schließlich
v2 = 0,25 · 4 – 0,25 · v1 = 1 – 0,25 · v1.
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Wenn eine Produktionsfunktion total substitutional ist, so berührt sie mindestens eine der beiden Achsen. Meistens berührt sie sogar beide.
Graphisch erhält man
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